19 septembre 2016
Benjamin Hellouin (IRIF)L’entropie topologique d’un système dynamique est un paramètre réel qui mesure sa complexité dynamique. J’étudie ici deux questions liées: quelle valeur peut prendre ce paramètre, et peut-on le calculer (algorithmiquement) ?
Dans les sous-shifts ou pavages de type fini (SFT) en dimension 1, on sait la calculer depuis 30 ans, et la méthode utilisée nous permet de caractériser l’ensemble des entropies possibles par une condition algébrique. En dimension supérieure, la surprise est venue en 2007 : non seulement l’entropie n’est pas calculable, mais l’ensemble des réels semi-calculables par le haut apparaissent comme entropies possibles. C’est le premier d’une série de résultats de « réalisation » qui s’est depuis décliné sur de nombreux autres objets.
Sous des hypothèses supplémentaires, par exemple de fortes conditions de mélange, l’entropie redevient calculable; les entropies possibles sont alors caractérisées par des conditions de calculabilité plus fortes. Les hypothèses « minimales » de ce résultat ne sont pas encore bien comprises.
Dans cet exposé, j’explore le cas des sous-shifts ou pavages généraux, i.e. pas de type fini. Je met en relation la difficulté de décider si un motif apparait dans le pavage et la difficulté de calculer la valeur de l’entropie. J’exhibe un saut de difficulté qui est fonction du taux de mélange, le problème devenant brusquement plus difficile au-delà d’une valeur seuil.
Ce travail est une collaboration avec Silvère Gangloff, Mathieu Sablik et Cristobal Rojas.